Если это не часть официального названия организации, следует писать оба слова с маленькой буквы: адвокатское бюро.
Верно с прописной.
Верно: оперативно-разыскное бюро.
Аббревиатура БЕЛТА фиксируется в «Словаре собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко (М., 2010) как слово среднего рода. Однако Ю. А. Бельчиков в справочнике «Практическая стилистика современного русского языка» 2012 г. указывает, что широко распространенные инициальные аббревиатуры, оканчивающиеся на а, при опорном слове среднего рода в полном названии, чаще всего употребляются в женском роде, и приводит в качестве примера аббревиатуру БЕЛТА. Все это говорит о том, что норма употребления слова БЕЛТА меняется и грубой ошибкой приведенный Вами пример считать нельзя.
Возможно: восточноевропейское бюро; Восточно-Европейское бюро (как официальное наименование).
Это конкурирующие конструкции, однозначной рекомендации нет.